The game Grundy number of graphs

Given a graph G = (V,E), two players, Alice and Bob, alternate their turns in choosing uncoloured vertices to be coloured. Whenever an uncoloured vertex is chosen, it is coloured by the least positive integer not used by any of its coloured neighbours. Alice’s goal is to minimize the total number of colours used in the game, and Bob’s goal is to maximize it. The game Grundy number of G is the number of colours used in the game when both players use optimal strategies. It is proved in this paper that the maximum game Grundy number of forests is 3, and the game Grundy number of any partial 2-tree is at most 7. Key-words: colouring game, game Grundy number, trees, partial 2-trees ∗ Projet Mascotte, I3S (CNRS, UNS) and INRIA, Sophia Antipolis. Partly supported by the French Agence Nationale de la Recherche under Grant GRATEL ANR-09-blan-0373-01. Email: [email protected] † Department of Mathematics, Zhejiang Normal University, China. Grant number: ZJNSF No. Z6110786. Email: [email protected] in ria -0 06 00 73 8, v er si on 1 15 J un 2 01 1 Le nombre Grundy par jeu des graphes Résumé : Etant donné un graphe G = (V,E), deux joueurs, Alice et Bob, jouent chacun leur tour en choisissant un sommet non-coloré. A chaque fois, qu’un sommet est choisi, il est coloré avec le plus petit entier naturel qui n’est assigné à aucun de ses voisins. Le but d’Alice est de minimiser le nombre de couleurs utilisées, et le but de Bob est de maximiser ce nombre. Le nombre Grundy par jeu de G est le nombre de couleurs utilisées si les deux joueurs adoptent un stratégie optimale. Dans ce rapport, nous montrons que le nombre Grundy par jeu maximal d’une forêt est 3 et que le nombre Grundy par jeu d’un 2-arbre partiel est au plus 7. Mots-clés : jeu de coloration, nombre Grundy par jeu, arbre, 2-arbre partiel in ria -0 06 00 73 8, v er si on 1 15 J un 2 01 1 The game Grundy number of graphs 3